Ce message nous indique que l'on c'est tromper de mot clef, et nous propose les mot clefs valides.
D'après vous, quand on écrit `drawstyle=default`, comment les points sont reliés ?
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# Conseil sur les arguments facultatifs
Considérons un appel d'une fonction de scipy :
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``` python
stats.norm.rvs(loc=-1,scale=3,size=100);
```
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Tous les arguments sont facultatifs. Les valeurs par défaut sont logiquement `loc=0,scale=1,size=1`
On peut écrire par exemple
simus=stat.norm.rvs(size=1000)
pour
simus=stat.norm.rvs(loc=0,scale=1,size=1000)
Mais attention : si on ne précise pas le nom des arguments, ils sont pris dans l'ordre `1:loc 2:scale 3:size`
Par exemple, si je veux tirer 1000 gaussienne et que j'écris
simus=stat.norm.rvs(1000)
mon programme bug car cela correspond à
simus=stat.norm.rvs(loc=1000)
Je vous conseille d'écrire quasi tout le temps le nom des arguments pour éviter ce genre de confusion ; sauf quand il s'agit d'un argument obligatoire évident comme dans `plt.plot(x,y)`.
Ou bien, conseil plus simple: adopter dans un premier temps la façon dont sont codés ces TP. Quand vous serez des vieux routier du python, vous créerez votre propre style.
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# lois continues classiques
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### paramètres de localisation et d'échelle
Toutes les lois dans scipy ont un paramètre de localisation `loc` que nous notons ici $\mu$ et un paramètre d'échelle `scale` que nous notons ici $\sigma$. Leur interprétation est la suivante :
Si l'appel de `stats.xxx.rvs()` renvoie une v.a $X$
alors `stats.xxx.rvs(loc=mu,scale=sigma)` renvoie une v.a ayant la même loi que sigma $\sigma X + \mu$. Ainsi ces deux paramètres effectue à des translation et dilatation de la densité comme l'indique la proposition suivante :
***Proposition :*** si $x\to f(x)$ est la densité d'une va $X$, alors la densité de $ \sigma X + \mu$ est:
EXO : Reprenez le dernier programme, améliorez-le car il souffre d'un défaut classique.
Faites varier les paramètres loc et scale. Supperposer plusieurs graphique pour que l'on comprennent bien les effets de dilatation et de translation de ces paramètres.
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### Paramètres de forme
Pour toutes les loi suivantes, nous ne nous occuperons plus des paramètres loc et scale, pour nous concentrer sur les autres paramètres (quand ils existent). Ces autres paramètres sont appelé paramètres de forme.
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### Loi gamma
gamma.pdf(x, a) = x**(a-1) * exp(-x) / gamma(a)
Pour quelle valeur de `a` retrouve-t-on une loi exponentielle ?
Exo: Le paramètre des forme est a. Quand il est entier il a l'interprétation suivante : gamma(a) est la loi de la somme de a v.a. exponentielle indépendantes. Illustrer ce fait par des simulations.
Exo: pour quels paramètres a la densité est-elle monotone ?
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### Loi Beta
gamma(a+b) * x**(a-1) * (1-x)**(b-1)
beta.pdf(x, a, b) = ------------------------------------
Exo : faites varier a et b de manière à faire apparaitres tous les 'type' possible de loi béta : cloche, smiley ,décroissant, croissant
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# Lois à Queues lourdes
Une loi est dites à queue lourde lorsque les v.a qui ont cette loi peuvent prendre, de temps en temps, des grandes valeurs positives ou négatives. Elle servent à modéliser des évènements rare et violent (ex: crue d'un fleuve).
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``` python
""" une fonction effectuant un histogramme tronqué """
Pour df petit (ex:2), c'est une loi à queue lourde. Pour df grand, elle ressemble à la loi normale.
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### Loi de cauchy
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``` python
df=2#degree au freedom
X=stats.cauchy.rvs(size=1000)
hist_trunc(X,-7,7,20)
x=np.linspace(-7,7,100)
plt.plot(x,stats.cauchy.pdf(x));
```
%%%% Output: display_data
[Hidden Image Output]
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***Proposition:*** Soit X,Y deux gaussiennes indépendantes. Alors le rapport X/Y suit une loi de Cauchy.
(on comprend aussi ici que les va de Cauchy peuvent prendre des valeurs très grandes).
Mais en attendant, on peut facilement faire la preuve avec la technique habituelle :
Soit phi une fonction teste et X,Y deux gaussiennes indépendantes. On a
E[X/Y] = cst int int phi(x/y) e^{-0.5 x^2} e^{-0.5 y^2} dx dy
En posant x/y = z et donc en faisant le changement de variable x -> yz (ou bien y-> x/z) on obtient ...
Ensuite, on peut calculer explicitement l'une des deux intégrale, et on tombe sur la densité de la Cauchy.
***Exo 1:*** Complétez cette démonstration.
***Exo 2:*** Illustrer la proposition par des simulations.
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# Relations entre les lois
Il est important de retenir les relations entre les principales lois, l'image ci-dessous peut vous aider à cela. Sinon, sur cette [page](http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html) contient encore plus de relations, ainsi que leur justifications mathématique.
