### vect alea

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Plus de lois avec scipy
%% Cell type:code id: tags:  python import numpy as np np.set_printoptions(precision=2,suppress=True) import matplotlib.pyplot as plt """Voici un autre import qu'il faut connaître : scipy= sci-entific py-thon """ import scipy.stats as stats %matplotlib inline  %% Cell type:markdown id: tags: 4 mots clefs à retenir (qui permettent aussi d'améliorer son anglais scientifique) : * pdf -> Probability density function. -> densité (prend des réels en argument) * pmf -> Probability mass function -> densité discrète (prend des entiers en argument) * cdf -> Cumulative density function. -> fonction de répartition * ppf -> Percent point function (inverse of cdf ) -> fonction quantile (ou percentile) * rvs -> Random variates. -> simulation d'un échantillon de va ayant la loi donnée A ce point du TP, vous vous dites qu'il y a vraiment trop de choses à retenir. Mais nous allons les pratiquez très souvent : cela rentrera tout seul. %% Cell type:markdown id: tags: # Densité, fonction de réparition, quantiles ## Densité, fonction de réparition, quantiles %% Cell type:markdown id: tags: ### une loi continue %% Cell type:code id: tags:  python simus=stats.norm.rvs(loc=0, scale=1, size=1000) """ c'est tout à fait identique à : simus=np.random.normal(loc=0,scale=1,size=1000) cependant scipy.stats contient encore plus de loi que numpy.random. Par exemple la loi t de student utile pour les stats. """ plt.figure(figsize=(10,5)) x=np.linspace(-3,3,100) pdf=stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=1) cdf=stats.norm.cdf(x, loc=0, scale=1) ppf=stats.norm.ppf(x, loc=0, scale=1) plt.subplot(1,2,1) plt.hist(simus,20,normed=True,label="simus",edgecolor="k") plt.plot(x,pdf,label="pdf") plt.plot(x,cdf,label="cdf") plt.legend() plt.subplot(1,2,2) plt.plot(x, cdf,label="cdf") plt.plot(x, ppf,label="ppf") plt.plot(x, x,label="y=x") plt.legend();  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Le tracé de la ppf ci-dessus n'est pas très joli, on a l'impression qu'il est incomplet. Changez cela. Aide: n'oubliez pas qu'une courbe, c'est des points qu'on relie entre eux, et que ces points, c'est vous qui les spécifiez. %% Cell type:markdown id: tags: ### une loi discrète %% Cell type:code id: tags:  python n=10 p=0.5 simus=stats.binom.rvs(n, p, size=1000) x=np.arange(0,n+1) bins=np.arange(0,n+2)-0.5 """ attention, la densité discréte en scipy c'est pmf et pas pdf """ pdf=stats.binom.pmf(x, n, p) cdf=stats.binom.cdf(x, n, p) plt.hist(simus, bins, normed=True, label="simus",edgecolor="k") plt.plot(x, pdf,'o' , label="pdf") plt.plot(x, cdf,'o', label="cdf") plt.title("loi binomiale") plt.legend();  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:code id: tags:  python """ variante. On trace la fonction de répartition en escalier. On rajoute des lignes verticales pour vous aidez dans l'exo suivant""" plt.figure(figsize=(13,5)) plt.subplot(1,2,1) """ lignes verticales. """ for xc in x:plt.axvline(x=xc, color='0.9') #0.9 => un gris très clair (0=noir,1=blanc) plt.plot(x, cdf,drawstyle='steps-post') plt.xticks(x) plt.subplot(1,2,2) for xc in x:plt.axvline(x=xc, color='0.9') plt.plot(x, cdf,drawstyle='steps-pre') plt.xticks(x);  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ***Exo:*** laquelle de ces deux représentations correpond à la fonction de répartition, à savoir: $x \to P[ X\leq x]$ $x \to P[ X\leq x]$ %% Cell type:markdown id: tags: ***Conseil:*** lisez bien les messages d'erreur. Par exemple si vous écrivez : plt.plot(x,y,drawstyle='steps-after',color="red") cela provoque un message d'erreur : ValueError: Unrecognized drawstyle steps-pre default steps-post steps-mid steps Ce message nous indique que l'on c'est tromper de mot clef, et nous propose les mot clefs valides. D'après vous, quand on écrit drawstyle=default, comment les points sont reliés ? %% Cell type:markdown id: tags: # Conseil sur les arguments facultatifs ## Conseil python: les arguments facultatifs Considérons un appel d'une fonction de scipy : %% Cell type:code id: tags:  python stats.norm.rvs(loc=-1,scale=3,size=100);  %% Cell type:markdown id: tags: Tous les arguments sont facultatifs. Les valeurs par défaut sont logiquement loc=0,scale=1,size=1 On peut écrire par exemple simus=stat.norm.rvs(size=1000) pour simus=stat.norm.rvs(loc=0,scale=1,size=1000) Mais attention : si on ne précise pas le nom des arguments, ils sont pris dans l'ordre 1:loc 2:scale 3:size Par exemple, si je veux tirer 1000 gaussienne et que j'écris simus=stat.norm.rvs(1000) mon programme bug car cela correspond à simus=stat.norm.rvs(loc=1000) Je vous conseille d'écrire quasi tout le temps le nom des arguments pour éviter ce genre de confusion ; sauf quand il s'agit d'un argument obligatoire évident comme dans plt.plot(x,y). Ou bien, conseil plus simple: adopter dans un premier temps la façon dont sont codés ces TP. Quand vous serez des vieux routier du python, vous créerez votre propre style. %% Cell type:markdown id: tags: # lois continues classiques ## lois continues classiques %% Cell type:markdown id: tags: ### paramètres de localisation et d'échelle Toutes les lois dans scipy ont un paramètre de localisation loc que nous notons ici $\mu$ et un paramètre d'échelle scale que nous notons ici $\sigma$. Leur interprétation est la suivante : Si l'appel de stats.xxx.rvs() renvoie une v.a $X$ alors stats.xxx.rvs(loc=mu,scale=sigma) renvoie une v.a ayant la même loi que sigma $\sigma X + \mu$. Ainsi ces deux paramètres effectue à des translation et dilatation de la densité comme l'indique la proposition suivante : ***Proposition :*** si $x\to f(x)$ est la densité d'une va $X$, alors la densité de $\sigma X + \mu$ est: ***Proposition :*** si $x\to f(x)$ est la densité d'une va $X$, alors la densité de $\sigma X + \mu$ est: $$\frac 1 \sigma \ f \ \Big( \frac{ x-mu} \sigma \Big)$$ *Astuce:* Pour ne pas s'encombrer la mémoire, retenez uniquement les densités des lois dans le cas $\mu=0$ et $\sigma=1$. Par exemple: $$\begin{array}{cc} a & b \\ \end{array}$$ | nom de la loi | simplifié | complète| | nom de la loi |        simplifié         |        complète         | |---------------|-----------| --------| | exponentielle | $\exp(x) 1_{\{x>0\}}$ | $\frac {1} {\sigma} \exp(- \frac {x-\mu } {\sigma} )$ | | exponentielle | $e^{-x} 1_{\{x>0\}}$ | $\frac {1} {\sigma} \exp(- \frac {x-\mu } {\sigma} )$ | | normale | $\frac {1} { \sqrt {2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}$ | ... | | normale | $\frac {1} { \sqrt {2 \pi}} exp -x^2$ | ... | | aaa | bbb | |---|---| | $a$ | $b$ | *Démo de la proposition:* Considérons $\phi$ fonction teste et $X$ une va de densité $f$ $$\mathbf E[\phi( \sigma X + mu )] = \int \phi( \sigma x + \mu) \ f(x) \ dx$$ On effectue le changement de variable $\sigma x + \mu \to y$ On effectue le changement de variable $\sigma x + \mu \to y$ $$\mathbf E[\phi( \sigma X + mu )] = \int \phi( y) \ f(... ) \ dy ...$$ On en déduit que ... %% Cell type:markdown id: tags: ### Loi Normale norm.pdf(x) = exp(-x**2/2)/sqrt(2*pi) %% Cell type:code id: tags:  python plt.hist(stats.norm.rvs(loc=0,scale=1,size=400),normed=True,edgecolor="k") x=np.linspace(-4,4,100) plt.plot(x,stats.norm.pdf(x,loc=0,scale=1));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: EXO : Reprenez le dernier programme, améliorez-le car il souffre d'un défaut classique. Faites varier les paramètres loc et scale. Supperposer plusieurs graphique pour que l'on comprennent bien les effets de dilatation et de translation de ces paramètres. %% Cell type:markdown id: tags: ### Paramètres de forme Pour toutes les loi suivantes, nous ne nous occuperons plus des paramètres loc et scale, pour nous concentrer sur les autres paramètres (quand ils existent). Ces autres paramètres sont appelé paramètres de forme. %% Cell type:markdown id: tags: ### Loi gamma gamma.pdf(x, a) = x**(a-1) * exp(-x) / gamma(a) Pour quelle valeur de a retrouve-t-on une loi exponentielle ? %% Cell type:code id: tags:  python """paramètre de forme""" a=2 plt.hist(stats.gamma.rvs(a=a,size=400),normed=True,edgecolor="k") x=np.linspace(0,8,100) plt.plot(x,stats.gamma.pdf(x,a=a));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Exo: Le paramètre des forme est a. Quand il est entier il a l'interprétation suivante : gamma(a) est la loi de la somme de a v.a. exponentielle indépendantes. Illustrer ce fait par des simulations. Exo: pour quels paramètres a la densité est-elle monotone ? %% Cell type:markdown id: tags: ### Loi Beta gamma(a+b) * x**(a-1) * (1-x)**(b-1) beta.pdf(x, a, b) = ------------------------------------ gamma(a)*gamma(b) %% Cell type:code id: tags:  python """ deux paramètres de formes""" a=2 b=2 plt.hist(stats.beta.rvs(a=a,b=b,size=400),normed=True,edgecolor="k") x=np.linspace(0,1,100) plt.plot(x,stats.beta.pdf(x,a=a,b=b));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Exo : faites varier a et b de manière à faire apparaitres tous les 'type' possible de loi béta : cloche, smiley ,décroissant, croissant %% Cell type:markdown id: tags: # Lois à Queues lourdes ## Lois à Queues lourdes Une loi est dites à queue lourde lorsque les v.a qui ont cette loi peuvent prendre, de temps en temps, des grandes valeurs positives ou négatives. Elle servent à modéliser des évènements rare et violent (ex: crue d'un fleuve). %% Cell type:code id: tags:  python """ une fonction effectuant un histogramme tronqué """ def hist_trunc(ech,gauche,droite,nb_batons): bins=np.linspace(gauche,droite,nb_batons) interval_width=(droite-gauche)/nb_batons weigh=np.ones_like(ech)/len(ech)/interval_width plt.hist(ech,bins=bins,weights=weigh,edgecolor="k")  %% Cell type:markdown id: tags: ### Loi t de Student  gamma((df+1)/2) t.pdf(x, df) = --------------------------------------------------- sqrt(pi*df) * gamma(df/2) * (1+x**2/df)**((df+1)/2)  C'est une loi très utile en statistique. %% Cell type:code id: tags:  python """ df = degree of freedom""" df=2 X=stats.t.rvs(df=df,size=1000) hist_trunc(X,-7,7,20) x=np.linspace(-7,7,100) plt.plot(x,stats.t.pdf(x,df=df));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Pour df petit (ex:2), c'est une loi à queue lourde. Pour df grand, elle ressemble à la loi normale. %% Cell type:markdown id: tags: ### Loi de cauchy %% Cell type:code id: tags:  python df=2 #degree au freedom X=stats.cauchy.rvs(size=1000) hist_trunc(X,-7,7,20) x=np.linspace(-7,7,100) plt.plot(x,stats.cauchy.pdf(x));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ***Proposition:*** Soit X,Y deux gaussiennes indépendantes. Alors le rapport X/Y suit une loi de Cauchy. (on comprend aussi ici que les va de Cauchy peuvent prendre des valeurs très grandes). Mais en attendant, on peut facilement faire la preuve avec la technique habituelle : Soit phi une fonction teste et X,Y deux gaussiennes indépendantes. On a E[X/Y] = cst int int phi(x/y) e^{-0.5 x^2} e^{-0.5 y^2} dx dy En posant x/y = z et donc en faisant le changement de variable x -> yz (ou bien y-> x/z) on obtient ... Ensuite, on peut calculer explicitement l'une des deux intégrale, et on tombe sur la densité de la Cauchy. ***Exo 1:*** Complétez cette démonstration. ***Exo 2:*** Illustrer la proposition par des simulations. %% Cell type:markdown id: tags: # Relations entre les lois ## Relations entre les lois Il est important de retenir les relations entre les principales lois, l'image ci-dessous peut vous aider à cela. Sinon, sur cette [page](http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html) contient encore plus de relations, ainsi que leur justifications mathématique. %% Cell type:markdown id: tags: ![Relationships_among_some_of_univariate_probability_distributions](img/distributions.jpg) %% Cell type:markdown id: tags: %% Cell type:code id: tags:  python  ... ...
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 ... ... @@ -376,7 +376,7 @@ "step=(droite-gauche)/nb_batons\n", "weights=np.ones_like(X)/step/len(X)\n", "\n", "plt.hist(X,bins=nb_batons,weights=weights,range=[gauche,droite],edgecolor=\"k\")\n", "plt.hist(X,bins=bins,weights=weights,range=[gauche,droite],edgecolor=\"k\")\n", "x=np.linspace(gauche,droite,200)\n", "plt.plot(x, gaussian_density(x));" ] ... ...
 %% Cell type:markdown id: tags: #
histogrammes et densités
%% Cell type:code id: tags:  python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt % matplotlib inline  %% Cell type:markdown id: tags: # Graphiques en batons %% Cell type:code id: tags:  python x= [1,1.5,2,2.5,3] y= [1,4,3,4,1] """ Par défaut width=0.8, ce qui ne ferait pas joli ici""" plt.bar(x,y,edgecolor="k",width=0.5); # "k" c'est black  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:code id: tags:  python """ Population totale par sexe et âge au 1er janvier 2018, France. source: https://www.insee.fr/fr/statistiques/fichier/1892086/pop-totale-france.xls """ nb_hommes=[370264,380786,390091,398757,409096,419458,422341,433633,433293,435936,432382,439050,429300,427923,426042,428943,436599,442760,420335,411745,397771,394287,384071,365958,361467,378875,380348,386998,386152,391032,392666,397890,400708,396839,392953,417916,422120,429147,406565,399665,406674,394569,405691,428904,452528,462957,459928,451838,443890,438042,436591,445267,446241,448156,443106,425952,424946,421198,414831,404537,400466,395119,387700,385660,374649,378923,368702,381299,370877,367734,357172,334517,249885,240416,230819,211303,184231,186016,189134,179799,169183,162468,149256,142187,126683,119777,106150,94411,76897,65760,54174,43318,35138,26429,19424,14138,10396,7400,2994,1612,2929,] nb_femmes=[354226,363749,373574,386477,389867,398597,405611,415679,412153,415631,413237,420649,411513,409866,407270,408649,416111,421402,398604,394150,380429,381718,374299,363324,360271,378034,385787,396563,401533,408101,410675,420196,419362,418329,413567,437539,440858,446720,423369,413791,414315,405569,414926,435625,461600,470512,467329,459041,453968,453315,449798,459334,459223,465447,461150,445813,446626,446154,444025,434265,433063,429825,425865,424456,416053,420938,410389,425522,417056,411404,404106,382498,289497,281703,273366,251816,224905,234778,243629,239419,233198,231156,222866,220997,205946,204422,188772,178310,153484,139112,120327,105685,90293,73890,60007,48181,36624,27518,11907,7042,13945,] nb_femmes=-np.array(nb_femmes) ages=range(0,len(nb_hommes)) plt.figure(figsize=(10,10)) plt.bar(ages,nb_hommes,width=1,label="hommes") plt.bar(ages,nb_femmes,width=1,label="femmes") xticks=np.arange(0,101,10) plt.xticks(xticks) for x in xticks: plt.axvline(x,color="0.9",linewidth=0.3) plt.legend();  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Exo: changez les abscisses pour faire apparaitre les années de naissances. Essayez de justifier les trous et les bonnes dans la pyramide d'âge. Exo: Comment expliquez-vous le grand nombre de centenaire comparez aux personnes de 98 ou 99 ans ? %% Cell type:markdown id: tags: # Histogrammes Considérons maintenant un échantillon c.à.d un ensemble de nombre réels. Dans la plupart des cas les échantillons sont construit: * soit à partir de simulation successive de v.a (ex: v.a gaussienne) * soit à partir d'observations (ex: tailles des gens dans la rue) Dresser l'histogramme d'un échantillon consiste à découper les réel en sous-interavalles, puis d'afficher des batons qui ont pour base ces sous-intervallse, et comme hauteur le nombre d'élément de l'échantillon contenu dans chaque sous-intervalles. %% Cell type:code id: tags:  python """l'échantillon à observer""" X=np.random.normal(0,1,size=1000) plt.hist(X,bins=15,color='blue',normed=True,edgecolor="k");  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Explication des options de plt.hist : * bins=10 : on découpe l'intervalle [min(X),max(X)] en dix sous-intervalles. * normed=True: la hauteur des batons est normalisée pour que cela ressemble à une densité * rwidth=0.9: la largeur de chaque baton occupe 90% de chaque sous-intervalle. %% Cell type:markdown id: tags: Mais parfois il est préférable de préciser nous même les sous-intervalles (=la base des batons) %% Cell type:code id: tags:  python X=np.random.normal(0,1,size=1000) plt.hist(X, bins=[-2,0.5,1,5], normed=True,edgecolor="k"); #un choix particulièrement idiot de bins  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: # Histogramme de loi discrète %% Cell type:markdown id: tags: Attention, pour les lois discrètes il faut obligatoirement préciser le découpage. Pour voir une catastrophe, remplacez bins par 11 dans plt.hist(). Expliquez le phénomène. %% Cell type:code id: tags:  python n=10 X=np.random.binomial(n,0.5,size=3000) """attention np.arange(0,n+2,1) donne l'intervalle discret [0,n+2[= [0,n+1]. on lui soustrait ensuite 0.5 pour avoir chaque entier de [0,n] dans un sous-intervalle""" bins=np.arange(0,n+2,1)-0.5 """ rwidth=0.6 (=ratio_width) signifie que la base des batons occupe 60% des sous-intervalles. """ plt.hist(X,bins=bins, histtype='bar', color='blue', rwidth=0.6) """on précise les graduations en x""" plt.xticks(np.arange(0,n+1,1));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ### Plusieurs histogrammes comparons des lois béta %% Cell type:code id: tags:  python nbData=10000 X1=np.random.beta(3,1,size=nbData) X2=np.random.beta(2,3,size=nbData) X3=np.random.beta(1,0.5,size=nbData) plt.hist([X1,X2,X3],bins=20,label=["a=3,b=1","a=2,b=3","a=1,b=0.5"]); plt.legend();  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: La variété des formes possible d'une loi la rend très pratique en modélisation. Choisissez des lois bêta bien choisies (dilatée par une constante), pour modéliser les variables X suivantes: * X : quantité chocolat consommée par les français (sachant que plus on en mange, et plus on a envie d'en manger) * X : durée de vie des français * X : durée de vie des grenouilles (forte mortalité infantile) Dressez les histogrammes Connaissez-vous d'autre loi pour des durées de vie ? %% Cell type:markdown id: tags: # Superposons histogramme et densité %% Cell type:markdown id: tags: ### une loi normale %% Cell type:code id: tags:  python nbSimu=1000 Simu=np.random.normal(size=nbSimu) """formule à emmener partout avec soi""" def gaussian_density(x): return 1/(np.sqrt(2*np.pi))*np.exp(-0.5*x**2) plt.hist(Simu,bins=30,normed=True,edgecolor="k"); x=np.linspace(-3,3,200) plt.plot(x, gaussian_density(x));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ### Tronquer un histogramme Parfois on a envit de ne montrer qu'une partie de l'histogramme. plt.hist dispose d'une option range qui ignore les valeurs de l'échantillon en dehors du range. Mais malheureusement, plt.hist utlise la normalisation 'naturelle' qui n'est pas compatible avec la superposition avec la densité théorique. %% Cell type:code id: tags:  python X=np.random.normal(0,1,size=1000) plt.hist(X,bins=15,range=[0,5],normed=True,edgecolor="k"); x=np.linspace(0,5,200) plt.plot(x, gaussian_density(x));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: Il faut donc faire la normalisation à la main, en précisant le poids de chaque observation. %% Cell type:code id: tags:  python X=np.random.normal(0,1,size=1000) nb_batons=30 gauche=0 droite=5 bins=np.linspace(gauche,droite,nb_batons) step=(droite-gauche)/nb_batons weights=np.ones_like(X)/step/len(X) plt.hist(X,bins=nb_batons,weights=weights,range=[gauche,droite],edgecolor="k") plt.hist(X,bins=bins,weights=weights,range=[gauche,droite],edgecolor="k") x=np.linspace(gauche,droite,200) plt.plot(x, gaussian_density(x));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ***Exo:*** améliorer l'histogramme ci-dessous en tronquant les grandes valeurs de l'échantillon de lois de Cauchy. Plutôt que de recopier le code précédent, créez une petite fonction qui trace un histogramme tronqué. Elle pourrait par exemple avoir comme signature : hist_tronc( ech,gauche,droite,nb_batons ) %% Cell type:code id: tags:  python def cauchy_density(x): return 1/np.pi/(1+x**2) X=np.random.standard_cauchy(size=200) plt.hist(X,bins=15,normed=True,edgecolor="k"); x=np.linspace(-10,10,200) plt.plot(x, cauchy_density(x));  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: ### Une loi log-normale ***Exo:*** Que représente une distribution log-normale ? Réponse : c'est la distribution de $f(X)$ avec $f$ ... et $X$ ... Vérifiez votre réponse en superposant histogramme de $f(X)$ à l'histogramme proposé ci-dessous. %% Cell type:code id: tags:  python size=1000 X=np.random.lognormal(size=size) bins=np.linspace(0,10,20) plt.hist(X, bins=bins, normed=True,edgecolor="k");  %%%% Output: display_data [Hidden Image Output] %% Cell type:markdown id: tags: *** Exo suite:*** Réponse de la première partie : la loi log-normale c'est la loi de $exp(X)$ avec $X \sim Normale(0,1)$. A partir de cette description, vous devez pouvoir intuitivement comprendre que la densité de la log-normale en 0 vaut ... Ce fait est très mal illustrer par l'histrogramme ci-dessus. Modifiez-le ! #### Complétez le calcul de la densité de la log-normale : Considérons $\phi$ une fonction teste et $X$ une v.a de loi normale. $$\mathbf E [\phi( \exp(X) )] = cst \int \ \phi( e^x ) \ e^{- \frac 1 2 x^2 }\ dx$$ on fait le changement de variable $e^x \to y$ on trouve ... donc la densité de $\exp(X)$ est ... Superposez cette densité avec l'histogramme précédent pour valider votre calcul. %% Cell type:markdown id: tags: ### Une loi binomiale Quelle est le lien entre loi binomiale et loi de bernouilli ? %% Cell type:code id: tags:  python """ échantillon d'une binomiale """ X=np.random.binomial(n=10,p=0.5,size=100) np.set_printoptions(linewidth=2000) print("X:",X)  %%%% Output: stream X: [4 5 5 6 3 7 6 9 6 5 4 5 6 6 2 5 9 7 6 6 5 4 2 6 5 4 2 3 7 3 3 2 5 5 7 3 4 6 5 5 6 3 2 4 5 6 4 6 7 6 6 6 4 3 6 5 6 5 3 4 6 6 2 5 5 5 7 6 4 3 7 4 5 7 4 1 5 6 6 7 6 3 4 7 4 6 4 4 8 7 4 1 5 4 7 8 7 6 6 1] %% Cell type:markdown id: tags: Dressez l'histogramme de ces simulations. Superposez cet histogramme avec la densité discrète de la loi binomiale. On calculera cette densité point par point (sans chercher de package particulier). Vous aurez seulement besoin de la fonction factorielle. Remarque : Il est plus élégant de ne pas relier les points d'une densité discrète. %% Cell type:code id: tags:  python import math print("10!:",math.factorial(10))  %%%% Output: stream 10!: 3628800 %% Cell type:code id: tags:  python  %% Cell type:code id: tags:  python  ... ...
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